"แกจะคิดไปทำไม"

ในที่สุด เมื่อวันศุกร์(23 ธันวา)ที่ผ่านมา(นานแล้ว)นี้ ผมก็แก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ข้อนึงที่ผมตั้งขึ้นมาเองได้สำเร็จ (โดยได้รับความช่วยเหลือจากโพ)
ซึ่งผมภูมิใจมากๆครับ

ปัญหาที่ว่าก็คือ ผมจินตนาการสงสัยถึงการเคลื่อนที่ของ ปากกาที่ตั้งอยู่และเกิดถูกไสลด์ ทำให้ปลายปากกาเคลื่อนออกไปทิศใดทิศหนึ่ง โดยถ้าเรามองจากด้านบน หัวปากกายังคงอยู่ที่ตำแหน่งเดิม (ถ้าสงสัยนึกภาพไม่ออก ก็ลองดูรูปกราฟนะครับ ตัวปากกาคือเส้นสีเขียว)
คือจะเห็นได้ว่า ถ้าเราถ่ายรูปปากกาแชะๆไว้แต่ละช็อต แล้วเอาทุกช็อตมาซ้อนกัน เราก็จะเห็นเส้นโค้งด้วยแหล่ะ (ซึ่งก็คือเส้นสีส้มนั้นเอง) ผมก็เกิดตะหงิดๆว่า ไอ้เส้นๆนี้มันเป็นยังไง
มันเขียนเป็นสมการได้ว่ายังไงกันนะ !!!

y = sin³( cos^-1( x^1/3 ) )
ฮูวเร่! ผมได้มันมาหลังจากคิดอยู่ 2 วัน หลังจากคิดสมการผิดๆไป 2 สมการ และได้รับความช่วยเหลือจากโพในการแก้สมการเกี่ยวกับลิมิตและแคลคูลัส
ผมชอบมันมากๆเลยครับ เพราะมันสั้นและสวยงาม ไม่เหมือนกับสมการ 2 สมการแรกอัน ยุ่ง+ยาก+ยาว ที่คิดเอาไว้ ซึ่งมันผิดอีกต่างหาก
และต้องบอกว่า ผมรู้สึกถึงขั้นดีใจมากๆ ที่ทำได้ มันเป็นอะไรที่น่าดีใจมากนะครับกับการที่ เราเกิดนึกสงสัยอะไรขึ้นมา แล้วเราก็ได้คำตอบออกมาด้วยวิธีคิดของตัวเราเอง
เทียบกับการแก้โจทย์เลขในห้องเรียนที่ถูกยัดโจทย์มาให้ทำในเรื่องที่เพิ่งเรียน ความรู้สึกก็เหมือนฟ้ากับเหวเลยมั้งครับ
ที่จริง จุดหนึ่งที่ทำให้ผมดีใจ ก็คงเพราะว่ามันเป็นโจทย์ที่ผมใช้ความพยายามอยู่มากเหมือนกัน
ลองนึกถึงถ้าผมสงสัยแล้วคิดได้เลย ก็คงไม่ดีใจเท่าไหร่
แต่ผมถึงกับเสียเวลาคิดสมการผิดๆไปถึง 2 สมการ และยังต้องให้โพช่วยเหลือในกระบวนการบางส่วนอีกด้วย พอได้คำตอบออกมาก็เลยดีใจมากหน่อย
งานอะไรเราทุ่มเทมาก ให้เวลากับมันมาก เราก็จะเห็นมันมีค่ามาก รู้สึกมันเป็นส่วนหนึ่งของเรามาก และเมื่องานสำเร็จ เราก็จะดีใจมาก
ฉะนั้นจึงทำให้การแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ครั้งนี้ พิเศษกว่าครั้งก่อนๆมา เพราะครั้งก่อนๆนั้น มันเหมือนกับบังเอิญสังเกตแล้วปิ๊ง!.... ได้คำตอบ

ในชีวิตผม การค้นพบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของผมที่ยังอยู่ในความทรงจำ นั้นมีเหลืออยู่อีก 2 ครั้งเท่านั้น (ที่จริงก็ไม่รู้ว่ามีมากกว่านี้หรือเปล่า แหะๆ)

ครั้งแรกตอนอยู่ประมาณ ป.5-ป.6 ครับ(หรือราวๆนั้น) เป็นชั่วโมงอิสระพัฒนาตน ผมขึ้นไปพูดหน้าระดับเกี่ยวกับสูตรการคูณเลข 2 ตัวที่ลงท้ายด้วยเลข 5
เรื่องก็มีอยู่ว่า ตอนนั้นผมเพิ่งทราบสูตรการยกกำลัง 2 ของเลขที่ลงท้ายด้วยเลข 5 ( ตัวอย่างเช่น 35*35 ให้เอา (3+1)*3 มาต่อหน้าเลข 25 ฉะนั้นคำตอบก็คือ 1225 หรือ 115*115 ก็เป็น 12*11 ต่อหน้า 25 เป็น 13225 )
เวลาบ่ายๆของวันหนึ่ง ผมนอนเบื่ออยู่บนเตียง นอนอยู่ข้างๆเครื่องคิดเลข
ความสงสัยก็ผุดมาว่า ถ้านำตัวเลขที่ลงท้ายด้วยเลข 5 แต่ไม่ได้นำมาคูณกันเอง(นำมายกกำลัง 2) หากแต่เอามาคูณเลขที่ลงท้ายด้วย 5 ตัวอื่น จะได้ผลออกมาเป็นอย่างไร จะมีสูตรสำเร็จบ้างไหม...
ผมนั้นกดเครื่องคิดเลขอยู่ซัก 15 นาทีถึงครึ่งชั่วโมงก็เริ่ม เอ่ะใจว่า มันมีความสัมพันธ์อยู่ จึงไปทดเลขในกระดาษไปๆมาๆ ก็ได้สูตรมา ผมรู้สึกดีใจมากเหมือนกัน
ผมยังจำได้ชัดเจนถึงวันที่ ผมอธิบายเรื่องนี้หน้าระดับชั้นในอาคารอุบล แต่จนถึงวันนี้ผมยังไม่แน่ใจว่า คนเข้าใจที่ผมพูดหรือเปล่า (สูตรที่ผมว่า เอาเข้าจริงๆมันอาจไม่ได้ทำให้เร็วขึ้นเท่าไหร่เลย 555 ถ้าไม่คล่อง) หรือว่าเพราะผมพูดน่าเบื่อไม่ทราบ...

ครั้งต่อมา ตอนนั้นเรียนพิเศษเลขเพื่อเตรียมสอบ สสวท. คอมพิวเตอร์ เรียนกับพี่นัทครับ ก็เกิดคิด วิธีลัดหาว่าเลขติดแฟกทอเรียลเลขหนึ่งจะมี จำนวน x เป็นตัวประกอบกี่ตัว ขึ้นมาได้ (ตัวอย่าง 6! = 6*5*4*3*2*1 = 2^4 * 3^2 ถ้าถามว่า 6! มี 2 เป็นตัวประกอบกี่ตัว ก็คือ 4 ตัว)
เราก็เรียกกันวิธีคิดของผมนี้ในกลุ่มเล็กๆที่เรียนพิเศษว่า eig's method
ก็ถือเป็นความภูมิใจเล็กๆครับ
แต่ต่อมาผมพบว่า เรื่องที่ผมคิดได้นี้ มีอยู่แล้วในเรื่องบทเรียนของสถาบันเรียนพิเศษ (ซะงั้น!)

ล่าสุดก็คือ สมการปากกาแสนสวยงามของผมนี้แหล่ะครับ
y = sin³( cos^-1( x^1/3 ) )

ที่จริงแล้ว... ทั้ง 3 เรื่องนี้ ที่เป็นเรื่องซึ่งผมถือเสียว่าผมค้นพบด้วยตัวเองนี้ เป็นไปได้สูงมากทีเดียวที่จะมีการค้นพบมาก่อนนานแล้วและเป็นเรื่องที่ธรรมดามากๆ
ผมอาจมองมุมกลับมาว่า เราจะเสียเวลากับสิ่งที่มีอยู่แล้วเพื่ออะไร เราไม่ได้ทำอะไรเลย ไม่ได้ค้นพบอะไรเลย
คือ อาจจะเสียเวลา แต่ผมว่าสนุกดี

ผมเชื่อว่า มันไม่น่าลังเลครับ ที่จะทำในสิ่งที่เราสนุก ถ้าประโยชน์ที่ได้คุ้มกับเวลาที่เสีย
ก็บอกแบบนี้ก็เพราะว่า ผมคิดว่ามันน่าลังเลเหมือนกัน ถ้าจะทำอะไรก็ตามที่ได้ประโยชน์คุ้มกับเวลาที่เสียไป
แต่เราไม่สนุก...

ผมชอบนึกเสมอๆ ถึงคนๆหนึ่ง ที่ตั้งใจเรียนเอาเป็นเอาตาย ทุกๆวันอดทนขยันเพื่อจะสอบเข้ามหาวิทยาลัยในคณะคะแนนสูงลิบ ไม่ทำอะไรอย่างอื่นนอกจากอ่านหนังสือ จะมีบ้างที่แบ่งเวลาไปอ่านข่าวหนังสือพิมพ์ หรืออ่านตำราเล่นหุ้น
และก่อนวันสอบ เขาถูกรถชนตาย...
คงเป็นชีวิตที่ไม่สนุกเอาซะเลย ที่อดทนทำทุกๆอย่างเพื่อประโยชน์ในอนาคตเพียงอย่างเดียว
(เรื่องข้างบนเป็นเรื่องสมมตินะครับ)

กลับเรื่องเดิม
ผมคิดว่าการคิดวิธีการอะไรก็ตามที่เราไม่เคยรู้มาก่อนด้วยตัวเองนั้น ทำให้เราได้เรียนรู้อะไรมากกว่าการเราทำความเข้าใจวิธีการของคนอื่นหลายเท่าตัว
กระบวนการคิดสมการครั้งล่าสุดนี้ ผมเริ่มต้นด้วยการสังเกตและจินตนาการการเคลื่อนที่ของปากกา แปลงมันเข้ามาในรูปของปัญหาทางคณิตศาสตร์ ทดลองใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์หลายๆด้านที่เคยเรียนมามาหาคำตอบ ผมคิดสมการออกมาแล้วตรวจหาจุดบอดว่าผิดหรือไม่ มันผิดไป 2 ครั้ง ผมคิดต่อไป และได้สิ่งที่ถูกต้อง(รึเปล่า?)ออกมา
เทียบกับการดูสูตร ดูที่มา ทำความเข้าใจ แล้วร้องอ๋อ (บางคนดูสูตรแล้วจำ แล้วจบ) ตามแบบฉบับการเรียนในห้องเรียนนั้น "กระบวนการคิด"ที่ผมได้ฝึกนั้น ผมคิดว่าแตกต่างกันมาก
ผมอยากให้การศึกษาของไทยเรา ฝึกคนให้ตั้งคำถามในชีวิต และหาคำตอบด้วยกระบวนการทางวิทยาศาสตร์มากขึ้นกว่านี้
นี้มันไม่ใช่เรื่องที่อยู่แค่ในห้องเรียนหรือวิชาชีพ แต่มันเป็นวิถีการดำเนินชีวิตของคน

การเชื่ออะไรซักอย่างด้วยความไร้สาเหตุ...
การกู้เงินบริษัทสินเชื่อเกินตัว...
การใช้บัตรเครดิตทบหนี้บัตรเครดิตเดิมจนหนี้ล้น...
การเรียนแบบจำแล้วสะสมความไม่เข้าใจไป ทุกปีๆ...
ฯลฯ

เรื่องแบบนี้คงไม่เกิดกับคนไทยครับ เพียงแค่เราไม่ขี้เกียจที่จะฝึก "คิด" สักนิด

---

และสมการปากกาของผมก็มีที่มาดังนี้ครับ

เส้นโค้งที่ผมต้องการจะหานี้ มันเกิดจาก ปากกายาว L หน่วยครับ
เมื่อเส้นปากกาทำมุม 90 องศากับแกน x กับเส้นปากกาทำมุม 89 องศากับแกน x มาซ้อนกันจะได้จุดตัด 1 จุด
เมื่อเส้นปากกาทำมุม 89 องศากับแกน x กับเส้นปากกาทำมุม 88 องศากับแกน x มาซ้อนกันจะได้จุดตัด 1 จุด
เมื่อเส้นปากกาทำมุม 87 องศากับแกน x กับเส้นปากกาทำมุม 87 องศากับแกน x มาซ้อนกันจะได้จุดตัด 1 จุด
....
เมื่อเส้นปากกาทำมุม 1 องศากับแกน x กับเส้นปากกาทำมุม 0 องศากับแกน x มาซ้อนกันจะได้จุดตัด 1 จุด

ถ้าเราลากเส้นต่อจุดจะได้เส้นที่หักมุมถี่ๆ เกือบเป็นเส้นโค้ง

ดังนั้นถ้าเรานำเส้นปากกาที่ มุมใกล้กันที่สุด มาตัดกันแล้วไล่ไปเรื่อยๆ ก็จะได้สมการคำตอบที่ต้องการออกมา

y = mx + b
y= - tan(THETA)x + Lsin(THETA) ___(1)
y= - tan(THETA+h)x + Lsin(THETA+h) ___(2) โดยที่ h=0
(THETA คือค่ามุมใดๆ)

เราจะหาจุดตัดของ 2 สมการว่า ตัดอันที่ x=เท่าไหร่

y(1) = y(2)
- tan(THETA)x + Lsin(THETA) = - tan(THETA+h)x + Lsin(THETA+h)
x { tan(THETA+h) - tan(THETA) } = Lsin(THETA+h) - Lsin(THETA)
x = {Lsin(THETA+h) - Lsin(THETA)} / {tan(THETA+h) - tan(THETA)}
x = {Lsin(THETA+h) - Lsin(THETA)} / {tan(THETA+h) - tan(THETA)} ; เติม /h เข้าไปทั้ง เศษและส่วน
x = [{Lsin(THETA+h) - Lsin(THETA)} / h] / [{tan(THETA+h) - tan(THETA)} / h] ; เติม /h เข้าไปทั้ง เศษและส่วน

d f(x) = ( f(x+h) - f(x) ) / h ; เมื่อ h=0 (นิยามการดิฟ)

x = d Lsin(THETA) / d tan(THETA)
x = Lcos(THETA) / (1/cos²(THETA))
x = Lcos³(THETA)

(เรื่องแคลคูลัสเรียนเมื่ออยู่ ม.6 ครับ ส่วนสูตร d sin(THETA) = cos(THETA) กับ d tan(THETA) = 1/cos²(THETA) สามารถหาอ่านเพิ่มเติมได้)

เรารู้แล้วว่า เส้นตรง2เส้นจะตัดกันที่ x =Lcos³(THETA)
ต่อไปเราก็หา ค่า y เมื่อ x =Lcos³(THETA) เพื่อจะได้รู้คู่อันดับ
โดยแทนค่า x ลงในสมการ (1)

y = - tan(THETA)x + Lsin(THETA)
y = - tan(THETA) Lcos³(THETA) + Lsin(THETA)
y = - sin(THETA) Lcos²(THETA) + Lsin(THETA)
y = Lsin(THETA) (-cos²(THETA) + 1)
y = Lsin(THETA) (sin²(THETA))
y = Lsin³(THETA)

เราจะได้คู่ลำดับ (x,y) = (Lcos³(THETA) , Lsin³(THETA))

จุดนี้คือจุดที่ปรากฏในสมการคำตอบเมื่อปากกาทำมุม THETA

เมื่อเราไล่มุม THETA ตั้งแต่ 90 - 0 เราก็จะได้ คู่ลำดับที่ถูกต้องแล้ววาดรูป เส้นโค้งที่ต้องการได้แล้วครับ
แต่เรายังไม่ได้ สมการเส้นโค้ง

สมการเส้นโค้งนั้น ต้องเขียนว่า y เท่ากับเท่าไหร่ในเทอม x

y = Lsin³(THETA)
Lเป็นค่าคงที่ แต่ THETA เป็นมุมใดๆ เราจึงต้องหาค่า THETA ในเทอม x

x = Lcos³(THETA)
x/L = cos³(THETA)
(x/L)^1/3 = cos(THETA)
THETA = cos^-1( (x/L)^1/3 )

y = Lsin³( cos^-1( (x/L)^1/3 ) )
เป็นอันจบ

จากบทความข้างต้นเพื่อความสวยงามผมกำหนด ปากกายาว 1 หน่วยครับ
y = sin³( cos^-1( x^1/3 ) )

---

ต่อไป eig's method ถ้าเขียนเป็น function คอมพิวเตอร์จะเขียนได้แบบนี้ครับ คนที่อ่านโปรแกรมเป็นและไม่เป็น ลองอ่านดูครับ
int f(int number,int find)
{
if(number/find==0)
return 0;
return number/find + f(number/find)
}
จากฟังก์ชันนี้ number คือเลขที่ติดแฟคทอเรียล find คือเลขตัวประกอบที่เราต้องการหาว่ามีกี่ตัวครับ